-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 2
/
Copy path1_Einfuehrung.tex
146 lines (135 loc) · 5.91 KB
/
1_Einfuehrung.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Einführung
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Einf"uhrung}
\subsection{Zahlenmengen\formelbuchgreen{1,331}}
\begin{minipage}[c]{6.5cm}
$ \mathbb{N} = \left\{1,2,3,...\right\};\; $\\
$ \mathbb{Q} = \left\{x|x \;=\; ^{p}/_{q} \text{ mit } p \in \mathbb{Z}
\text{ und } (q \in \mathbb{Z} \smallsetminus \{0\})\right\};\;$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{5cm}
$ \mathbb{N}_0 = \left\{0,1,2,3,...\right\};\; $\\
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{5cm}
$ \mathbb{Z} = \left\{...,-2,-1,0,1,2,..\right\}; $\\
$ \mathbb{R} = zB \; \sqrt{2}, \pi,\phi$
\end{minipage}
\subsection{Mengenlehre\formelbuchgreen{334}}
$A \;=\; \left\{-2,-1,0,1,2\right\} ,\; B\; =\; \left\{0,1,2,3,4\right\}$\\
\begin{minipage}[c]{6.5cm}
Schnittmenge:\\
Vereinigungsmenge:\\
Differenzmenge:\\
Produktmenge:\\
Kommutativgesetz:\\
Assoziativgesetz:\\
Distributivgesetz:
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{6.5cm}
$A \; \cap B \;=\;\left\{x|x \in A \text{ und } x \in B \right\}$\\
$A \; \cup B \;=\;\left\{x|x \in A \text{ oder } x \in B \right\}$\\
$A \; \smallsetminus B \;=\;\left\{x|x \in A \text{ und } x \notin B \right\}$\\
$A \; \times B\;=\;\left\{(a,b)|a \in A \text{ und } b \in B \right\}$\\
$A \; \cap B \;=\;B \; \cap A$ \\
$\left(A \cap B \right) \cap C\;=\;A \cap \left( B \cap C \right)$ \\
$A\; \cap \left(B\cup C\right)\;=\;\left(A \cup B\right)\cap \left(A \cup C\right) $
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{7cm}
$A \; \cap B \;=\; \left\{0,1,2\right\}$\\
$A \; \cup B \;=\;\left\{-2,-1,0,1,2\right\}$\\
$A \; \smallsetminus B \;=\;\left\{-2,-1\right\}$\\
$ $\\
$A \; \cup B \;=\;B \; \cup A$ \\
$\left(A \cup B\right) \cup C\;=\;A \cup \left( B \cup C \right)$ \\
$A\; \cup \left( B \cap C \right)\;=\;\left( A \cap B \right) \cup \left(A \cap C\right) $
\end{minipage}
\subsection{Beweismethoden\formelbuchgreen{5}}
\subsection{Spezielle Ungleichungen\formelbuchgreen{30}}
\begin{tabbing} xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\=\kill
Bernoulli-Ungleichung: \>
$(1 + a)^n > 1 + n \cdot a$\>
f"ur $n \in N, n \geq 2, a \in R, a > -1, a\neq0$\\
Binomische Ungleichung: \>
$|a\cdot b|\leq\frac{1}{2}(a^2 + b^2)$\\
Dreiecksungleichung: \>
$\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|$ \>
$\left|a-b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|$ \>
$\left|a-b\right|\geq\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|$\\
Geometrisches und arithmetisches Mittel:\\
f"ur $a_i\geq0,\;n \in \mathbb{N},\;i \in \left\{1,2,...,n \right\}:$\>
$\sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n}\leq \frac{1}{n} \cdot \sum\limits _{i=1}^n a_i = \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$\>\>
$\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}$, siehe Br. S.19/20 \\
Minima/Maxima: \>
$\min\{a_i\} \leq \sqrt[n]{a_1a_2 \ldots a_n} \leq \max\{a_i\}$\\
Betragsungleichung:\>$-c<x<c\;\Leftrightarrow\;|x|<c$
\end{tabbing}
\subsection{Umgebung}
\begin{minipage}[c]{14.5cm}
Jedes offene Intervall, dass die Zahl a enth"alt, heisst eine Umgebung von a. \\
Es sei $\epsilon >$ 0. Unter der $\epsilon$-Umgebung von a versteht man das offene Intervall $(a-\epsilon,a+\epsilon).$\\
Eine $\epsilon$-Umgebung von a ohne die Zahl a selbst wird punktierte $\epsilon$-Umgebung von a genannt.
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{5cm}
Schreibweise: U(a)\\
Schreibweise: $U_\epsilon(a)$\\
Schreibweise: $\dot{U}_\epsilon(a)=U_\epsilon(a)\smallsetminus{a}$
\end{minipage}
\subsection{Summenzeichen\formelbuchgreen{7}}
\begin{minipage}[c]{4.75cm}
$\text{mit 1}\leq m\leq n $
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{16cm}
Die Laufvariable $i$ wird immer um 1 aufaddiert. $i$ immer kleiner-gleich $n$ (z.B. wenn $i \in \mathbb{R}$)
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{4.75cm}
$\sum\limits _{i=1}^n a_i = \sum\limits _{i=1}^m a_i + \sum\limits _{i=m+1}^n a_i;$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{4.25cm}
$\sum\limits _{i=1}^n a_i = \sum\limits _{i=1-j}^{n-j} a_{i+j};$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{4.25cm}
$\sum\limits _{i=1}^n a = n\cdot a;$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{8cm}
$\sum\limits _{i=1}^n \left(\lambda a_i + \beta b_i \right) = $
$\lambda \sum\limits _{i=1}^n a_i + \beta \sum\limits _{i=1}^n b_i$
\end{minipage}
\subsection{Spezielle endliche Reihen\formelbuchgreen{19}}
\begin{minipage}[c]{4.25cm}
$\sum\limits _{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{4.25cm}
$\sum\limits _{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{4.25cm}
$\sum\limits _{i=1}^n i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$
\end{minipage}
\subsection{Produktzeichen\formelbuchgreen{7}}
$a_n\prod\limits _{i=1}^n \left(x-x_i\right)=
a_n\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot...\cdot\left(x-x_n\right)$
\subsection{Fakult"at\formelbuchgreen{13}}
\begin{minipage}[c]{6cm}
$n! = 1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n $
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{6cm}
$\text{f"ur n} \in \mathbb{N}, n \geq 3$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{6cm}
$n!>2^{n-1}$
\end{minipage}
\subsection{Binomischer Satz\formelbuchgreen{12}}
\begin{minipage}[c]{6cm}
$\left(a+b\right)^n = \sum\limits _{i=0}^n \left(\stackrel{n}{i}\right)a^{n-i}\cdot b^i$\\
$\left(\stackrel{n}{i-1}\right)+\left(\stackrel{n}{i}\right)=\left(\stackrel{n+1}{i}\right)$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{6cm}
$\left(\stackrel{n}{i}\right)=\left(\stackrel{n}{n-i}\right)$\\
$\left(\stackrel{n}{i}\right)=\frac{n!}{i!\left(n-i\right)!}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{6cm}
$\left(\stackrel{n}{0}\right)=1$\\
$2^n = \sum\limits _{i=0}^n \left(\stackrel{n}{i}\right)$
\end{minipage}
\subsection{Einige Wurzeln}
$\sqrt{2} = 1.414; \qquad \sqrt{3} = 1.732; \qquad \sqrt{5} = 2.236; \qquad \sqrt{6} = 2.449; \qquad \sqrt{7} = 2.645; \qquad \sqrt{8} = 2.828;$