7. math.md

수학공부

1 기초수학

로그

정의

a>0, a!=1, b>0 일 때 a^x = b <=> x = log_ab

a : 밑, b : 진수

성질

• log_a1 = 0
• log_aa = 1

밑변환 공식

자리 바꾸기 공식

수학에서는 밑이 2일 경우 생략하지 않지만, 공학(특히 컴퓨터공학) 부분에서는 밑이 2일 때 역시 생략해 주는 경우가 있다. 그 이유는 컴퓨터가 2진법을 사용하기 때문이다.

절댓값과 유클리드 거리

두 점을 (p1, p2, p3, p4, ...)와 (q1, q2, q3, q4, ...)로 표기한 경우

수열

정의

자연수 집합(또는 양의 정수 집합)을 정의역으로 갖는 함수. 쉽게 말하자면, 수를 늘어놓고 그것에 순번을 붙이는 것

수열의 n 번째 항 : 일반항

귀납적 정의

n 번째 항의 값을 n-1번째 이전의 값들로 계산하여 얻을 수 있는 경우를 수열의 귀납적 정의라 하며 이 식을 점화식이라고 부른다.

등차수열

등비수열

등비수열의 합

• 무한등비수열일 경우

수열의 극한

2 미분

최댓값, 최솟값, 극대값, 극소값

최대, 최소

함수 f의 정의역 D상의 모든 원소 x에 대하여

• f(c)≥f(x)가 성립하면 f(c)를 D에서의 f의 최댓값이라 하고
• f(c)≤f(x)가 성립하면 f(c)를 D에서의 f의 최솟값이라 한다.

극대, 극소

• x=a를 포함하는 어떤 열린 구간에서 함수 f(x)의 값이 f(a)이하이면
  함수 f(x)는 x=a에서 극대가 된다고 하며, f(a)를 극댓값 이라고 한다.

• x=b를 포함하는 어떤 열린 구간에서 함수 f(x)의 값이 f(b)이상이면
  함수 f(x)는 x=b에서 극소가 된다고 하며, f(b)를 극솟값 이라고 한다.

합성함수 미분

• 미분 : 기울기 !

x에 대한 y의 변화의 비율을 구하고 싶은데 직접적인 비율은 안 나와있고 x,y에 대한 매개체 u와의 비율만 나와있을 때 그 두 비율을 곱하면 바로 x에 대한 y의 변화의 비율이 나온다.

ex) f(x)=(2x+5)³

상미분, 편미분

상미분방정식

공업수학 책 chap1~6....?

미지함수(未知函數)가 독립변수를 한 개만 포함한 미분방정식이다. 함수가 제n계까지의 도함수를 가지면, 함수에 대해 n계 상미분방정식이라 한다.

편미분방정식

다변수함수(多變數函數)에 대하여, 그 중 하나의 변수에 주목하고 나머지 변수의 값을 고정시켜 놓고 그 변수로 미분하는 일을 가리킨다.

3 선형대수

벡터, 스칼라

벡터

크기와 동시에 방향을 갖는 물리량

벡터의 합

벡터의 차

벡터의 분해

방향 : tanθ = A_y/A_x

스칼라

크기만을 나타내는 물리량

내적, 외적

내적

내적의 성질

• 내적과 절대값의 관계

내적의 응용

외적

L1 norm, L2 norm

• Norm : 벡터 공간의 각 벡터들에 일종의 '크기'를 부여하는 함수.

임의의 벡터 x에 대한 Lp Norm은 다음과 같이 정의된다.

p=1 이면 L1 norm, p=2 면 L2 norm.

L1 norm

벡터 내의 모든 원소의 절댓값의 합

ex)

L2 norm

벡터 내의 모든 원소의 절댓값 제곱의 합의 제곱근

ex)

그 외

p가 커져도 구하는 방법은 같음.

ex) p=5일 때

Norm의 의미

특정 벡터가 대한 1차원 상에서 가지는 크기

행렬 연산

덧셈

: A, B가 같은 꼴의 행렬일 때, A와 B의 대응하는 성분의 합을 성분으로 하는 행렬을 A와 B의 합이라 하고, A + B로 나타낸다.

뺄셈

: A, B가 같은 꼴의 행렬일 때 B + X = A를 만족하는 행렬 X를 A에서 B를 뺀 차라 하고, A - B로 나타낸다.

실수배

k가 실수일 때

곱셈

eigen value, eigen vector (고윳값, 고유벡터)

고유값

자료행렬을 요약하는 수치로서, 특성치라고도 한다. 각 고유값은 그에 대응하는 고유벡터가 있다. A는 m×n 행렬이고, 는 Rn의 영벡터가 아닌 벡터이다. 스칼라 λ에 대하여 Ax가 의 스칼라 λ배, 즉 Ax = λx일 때, λ를 A의 고유값(eigenvalue of A)이라 하고, x(x != 0)를 λ에 대응하는 A의 고유 벡터(eigenvector of A)라 한다.

n×n 행렬 A가 서로 다른 고유값을 가지면 A는 대각화가 가능한 행렬이다.

4 확률과 통계

확률

일정한 조건 아래에서 어떤 사건이나 사상(事象)이 일어날 가능성의 정도. 또는 그런 수치. 수학적으로는 1을 넘을 수 없고 음이 될 수도 없다.
확률 1은 항상 일어남을 의미하고, 확률 0은 절대로 일어나지 않음을 의미한다.

확률변수와 학률분포

확률변수

변수X가 취할 수 있는 모든 값 x₁, x₂, x₃, ···, x_n에 대해 이들 값을 취할 확률 p₁, p₂, p₃, ···, p_n 이 정해져 있을 때, 이 변수X

확률분포

확률변수X가 취하는 값 x_i와 x_i를 취할 확률 p_i와의 대응관계

결합확률과 조건부 확률

결합확률

확률개념이 의미를 갖기 위해서는 다음의 세 조건을 반드시 만족해야만 한다고 한다.

이러한 보조개념하에서 결합확률을 설명하면, 서로 배반되는 두 사상 E, F가 있을 때, 두 사상이 연속적으로 또는 동시에 일어나는 확률을 P(E∩F)로 표시하고, E, F의 결합확률이라 한다.

결합확률의 계산은 각각의 사상이 나타날 확률이 서로 독립이면 P(E · F)=P(E) · P(F) 또는 ƒ(x, y)= ƒ(x) · ƒ(y)로 된다.

조건부 확률

조건부확률은 P(E/F)로 표시되며, 그것은 주어진 조건(즉, F가 일어났다는 전제 등)하에서 어느 사상 E가 일어날 확률을 의미한다.

기댓값

수학적 기망값이라고도 하며, 변량(變量) X가 각각 x1, x2, x3,…, xn이라는 값을 취할 확률이 각각 p1, p2, p3,…, pn일 때, 기댓값 X=x1p1＋x2p2+x3p3＋…+xnpn이다.

변수 X의 기댓값 E(X)는 변수 X에 가중치를 부여하여 구해진 평균(weighted mean)이다. 모평균이라고도 한다. 확률변수 의 기댓값 E(X)는 X의 중심적 성향 또는 분포의 무게중심을 알려준다.

큰 수의 법칙에 의하면 동일한 실험을 독립적으로 반복할 때, 결과들의 평균은 어떤 값으로 수렴한다. 이때 기댓값이 극한값이 된다.

평균, 분산, 공분산

평균

일반적으로 평균(average)은 어떤 값들의 집합의 적절한 특징을 나타내거나 요약하는 것을 의미한다. 산술평균, 기하평균, 조화평균 등이 있음.

산술평균

모평균 μ

확률 변수의 기댓값.

표본 평균

표본의 데이터를 모두 더한 후 표본의 데이터 갯수 n으로 나눈 것.
표본 분산이나 표본 표준 편차와 달리 n-1로 나누는 것이 아닌 것에 주의.

기하평균

숫자들을 모두 곱해서 ⁿ√을 취해서 얻는 평균. 연속변수의 경우 확률변수에 p제곱을 한 뒤에
적분한 것을 다시 p제곱근을 취하고 나서 독립변수의 측도로 나눠준 뒤 p를 0으로 보내면 된다.

조화평균

숫자들의 역수의 산술평균을 구한 후 그것을 역수로 취한 평균.

속변수의 경우 확률변수에 역수를 취한 것을 확률측도에 대해 적분한 뒤 다시 역수를 취한 후 독립변수의 측도로 나눠주면 된다. 역수를 취해야 하므로 숫자들 중에 0이 끼어있으면 계산할 수 없다. 또한 각 숫자들이 모두 양수여야만 의미있는 값이 얻어진다.

조화 평균은 기하평균과 같이 표본들이 비율이나 배수이지만 각 표본값은 독립적이고 표본끼리 곱한 값이 의미가 없을 때, 효율이나 속도 처럼 역수가 의미가 있을 때, 각 표본들이 비중이 같을 때 주로 쓰인다.

멱평균

위 세가지 평균을 일반화한 것으로, 산술평균은 1차평균, 기하평균은 0차평균, 조화평균은 -1차평균이 된다. 또한, ∞차로 극한을 취하면 최댓값, -∞차로 극한을 취하면 최솟값이 된다.

분산

변수의 흩어진 정도를 계산하는 지표

분산의 제곱근인 표준편차는 어떤 변수 x에 관하여 그 평균값를 중심으로 보았을 때 각 관측값이 평균적으로 어느 정도 평균값에서 벗어나 있는지를 계산한 것이라고 생각해도 좋다.

V(X) = E((X-μ)²) = E(X²)-μ²

공분산

두 확률변수 사이에 정의된 공분산은 두 확률변수의 선형관계에 대한 정보를 알려 준다. 공분산의 부호를 통하여 두 변수의 선형관계를 대략적으로 추측할 수 있다.

확률 변수 X의 증감에 따른 확률 변수 Y의 증감의 경향에 대한 측도이다.

공분산은 두 변수의 측정 단위에 따라 크기가 달라지므로 공분산의 크기 자체로 두 확률변수의 선형관계를 판단하는 것은 부적절하다. 선형관계를 판단하는 수치로는 공분산을 표준화한 상관계수를 사용하는 것이 일반적이다.

Cov(X, Y) = E[(X - μ1)(Y - μ2)] = E(XY) - E(X)E(Y)

상관계수

두 정량적 변수 간의 선형적 연관성을 재는 척도 --> 두 변수가 얼마나 관계가 있나? 를 알아보는 정도로 사용

corr(X,Y) , r 로 표현 (표현 방식이 다른 것)

이 성질들을 만족한다. >3번 ?