Small changes

include/Fourier Reihe/Fourier-Reihe.tex

@@ -0,0 +1,22 @@
+\section{Fourier-Reihe}
+\subsubsection*{Formen}
+\begin{tabular}{p{4cm}p{15cm}}
+  Trigonometrische Form &
+  $x(t) = \frac{u_0}{2} + \sum \limits _{n = 1} ^{\infty} u_n \cdot cos(2\pi n f_0 \cdot t) + v_n \cdot sin(2\pi n f_0 \cdot t) $
+  \newline $u_n = \frac{2}{T} \int \limits _{T} x(t) \cdot cos(2\pi n f_0 \cdot t)dt$
+  $u_n = \frac{2}{T} \int \limits _{T} x(t) \cdot sin(2\pi n f_0 \cdot t)dt$
+  \\[20pt]
+  Harmonische Form      &
+  $x(t) = r_0 + \sum \limits _{n = 1} ^{\infty} r_n \cdot cos(2\pi n f_0 \cdot t + \varpi_n)$
+  \newline $r_0 = \frac{u_0}{2} = \frac{1}{T} \int  \limits _{T} x(t) dt $
+  $r_n > 0 = \sqrt{u_n^2 + v_n^2}$
+  $\varphi = arg(u_n - j \cdot v_n) $
+  \\
+  Komplexe Form         &
+  $x(t) = \sum \limits _{n= -\infty} ^{\infty} c_n \cdot e^{jn2\pi f_0 \cdot t}$
+  \newline $c_n = \frac{1}{T} \int \limits _{T} x(t) \cdot e^{-j n 2 \pi f_0 \cdot t} dt$
+\end{tabular}
+
+\subsubsection*{Transformation und Rücktransformation}
+$$ X(\omega) = \mathcal{F}[x(t)] = \int \limits _{-\infty} ^{+\infty} x(t) \cdot e^{-j \omega t} dt $$
+$$ x(t) = \mathcal{F}^{-1}[X(\omega)] = \frac{1}{2 \pi} \int \limits _{- \infty} ^{+ \infty} X(\omega) \cdot e^{j \omega t} d\omega$$

include/Integraltransformationen/Integraltransformationen.tex

@@ -27,17 +27,21 @@ \subsection{Faltung}
   \end{tabular}
 
   \subsubsection*{Vorgehen}
+  \noindent
   \begin{enumerate}
     \item $\tau$ bzw. $t-\tau$ in die Entsprechende Funktion Einsetzen
-    \item Bereiche Bestimmen an denen die Funktion $\neq 0$
-    \item Bereiche bzw. eingesetzte Funktionen in Hilfsdiagramm einzechnen (siehe Bsp.)
+    \item Bereiche für $f \neq 0$
+    \item Bereiche in Hilfsdiagramm einzechnen (siehe Bsp.)
     \item Einzelne Integrationsbereiche mit Hilfe Diagramm bestimmen,
           indem Zeit $t$ "raufgezählt" und übergänge der Grenzen beachtet wird
     \item Integrale Bestimmen, Integralgrenzen = Eingezeichnete Grenzen im Diagramm.
     \item Integrale auflösen
   \end{enumerate}
-  \includegraphics[width = 4.5cm]{include/Integraltransformationen/img/Faltungsgrenzen.png}
-  \\\textbf{Beispiel}
+
+
+
+  \textbf{Beispiel}
+  \\\includegraphics[width = 4.5cm]{include/Integraltransformationen/img/Bsp_Grenzen.png}
   \\$f(t)= \begin{cases}
     2 \textrm{ für } 0 <t<4 \\
     0 \textrm{ sonst}
@@ -47,15 +51,19 @@ \subsection{Faltung}
     0 \textrm{ sonst}
   \end{cases}$
     \\1.$(f * g)(t) \int \limits _{-\infty} ^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau$
-    \\2.  $f(t): 0<\tau<4g(t): 0<t-\tau<1 \Rightarrow t-1 < \tau < t$
-    \\3.  \includegraphics[width = 2cm]{include/Integraltransformationen/img/Bsp_Grenzen.png}
-    \\4. und 5. $(f*g)(t) =$
-    \\$t \leq 0: 0$
-  \\$0 < t \leq 1: \int \limits _0 ^t 2 \cdot 3 d\tau$
-    \\$1<t \leq 4: \int \limits _{t-1} ^t 2\cdot 3 d\tau$
-  \\$4 <t \leq 5: \int \limits _{t-1} ^4 2\cdot 3 d\tau$
-    \\$5< t: 0$
-
+    \\2.  $
+  f(t): 0<\tau<4 \\
+  g(t): 0<t-\tau<1 \Rightarrow t-1 < \tau < t
+  $
+    \\3. Siehe oben.
+    \\4. und 5.
+    \\ $(f*g)(t) = \begin{cases}
+    t \leq 0: 0
+    \\0 < t \leq 1: \int \limits _0 ^t 2 \cdot 3 d\tau
+    \\1<t \leq 4: \int \limits _{t-1} ^t 2\cdot 3 d\tau
+    \\4 <t \leq 5: \int \limits _{t-1} ^4 2\cdot 3 d\tau
+    \\5< t: 0
+  \end{cases}$
 \end{multicols}
 
 
@@ -91,11 +99,13 @@ \subsubsection*{Fourier-Reihe}
   \subsubsection*{Fouriertransformation $\mathcal{F}(\omega)$}
   $$ X(\omega) = \mathcal{F}[x(t)] = \int \limits _{-\infty} ^{+\infty} x(t) \cdot e^{-j \omega t} dt $$
   $$ x(t) = \mathcal{F}^{-1}[X(\omega)] = \frac{1}{2 \pi} \int \limits _{- \infty} ^{+ \infty} X(\omega) \cdot e^{j \omega t} d\omega$$
-  Rechenregeln Siehe Anhang.
+  \\$\left|F(\omega)\right| =$ Amplitudendichtefunktion
+    \\$arg(F(\omega)) =$ Phasendichtefunktion
+\\ Rechenregeln Siehe Anhang.
 
 
   \subsubsection*{Spektraldarstellung}
-  \includegraphics[width = 6cm]{include/Integraltransformationen/img/Spektrum.png}
+  \includegraphics[width = 8cm]{include/Integraltransformationen/img/Spektrum.png}
 \end{multicols}
 
 \subsection{Laplace-Transformation}

include/Integrieren und Differenzieren/Integrieren und Differenzieren.tex

@@ -13,8 +13,8 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
-\section{Integrieren und Differenzieren}
-\subsection{Integrationsregeln}
+\subsection{Integrieren und Differenzieren}
+\subsubsection{Integrationsregeln}
 \begin{tabular}{ll}
   Linearit\"at                    & $\int{f(\alpha x+\beta )dx=\frac{1}{\alpha}\cdot F(\alpha x+\beta)+C}$ \\
 
@@ -46,7 +46,7 @@ \subsection{Integrationsregeln}
 \\
 
 \begin{minipage}{0.5\textwidth}
-  \subsection{Ableitungsregeln}
+  \subsubsection{Ableitungsregeln}
   \begin{tabular}{ll}
     Linerität       & $(\lambda f + \mu g)'(x) = \lambda f'(x) + \mu g'(x)$ \\
     \rowcolor{TabularBackgroundColor}

include/Kenngrössen von Signalen/Kenngrössen von Signalen.tex

@@ -2,19 +2,23 @@ \section{Kenngrössen von Signalen}
 \begin{tabular}{p{6cm}p{12cm}}
   Energie                                                            &
   $W_n = \lim_{T \to \infty}  \int \limits _{-T/2} ^{T/2} |f(t)|^2 dt$            \\
+  \rowcolor{TabularBackgroundColor}
   Leistung                                                           &
   $P_n = lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2} ^{T/2} |f(t)|^2 dt$  \\
   *Linearer Mittelwert
   \newline \tiny(auch: $ \bar{x}, x_m$)                              &
   $X_0 = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2}^{T/2} x(t) dt $                         \\
+  \rowcolor{TabularBackgroundColor}
   *Quadratischer Mittelwert                                          &
   $X^2 = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2}^{T/2} x^2(t) dt$                        \\
   *Effektivwert \newline \tiny{("Quadratischer Mittelwert", RMS)}    &
   $X^2 = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2}^{T/2} \sqrt{x^2(t)} dt $                \\
+  \rowcolor{TabularBackgroundColor}
   Mittelwert n. Ordnung \newline \tiny(nur Signale $\in \mathbb{R}$) &
   $X^n = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2} ^{T/2} x^n(t)dt$                        \\
   Varianz                                                            &
   $Var(x) = \sigma^2 = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2} ^{T/2} (x(t) - X_0)^2 dt$ \\
+  \rowcolor{TabularBackgroundColor}
   Standardabweichung                                                 &
   $\sigma = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{X^2 - (X_0)^2}$                                 \\
 \end{tabular}
@@ -47,51 +51,89 @@ \subsubsection*{Die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF)}
   \item \textbf{Klasse 2b:} $\lim_{t \to \infty}$ voran; \textbf{Klasse 1:} $\lim_{t \to \infty}$ anstelle $\frac{1}{T}$
 \end{itemize}
 
-
-\subsection{Vergleich Signalleistung / physikalische Leistung}
-Leistungsverhältnisse zweier Leistungen wird oft in dB, Dezibel angegeben.
-Bel steht für das Verhältnis zweier Werte im Zehnerlogarithmus.
-Aufgrund des d (=dezi) muss ein Faktor 10 verwendet werden.
-Werden anstelle Leistungen Effektivwerte genommen wird ein Faktor 20 benötigt.
-Bei Referenzwerten $P_0$ ist dieser für $P_x$ resp $x_{rms}$ einzusetzen.
-
-$$10 \cdot \log_{10} (\frac{P_y}{P_x}) =
-  10 \cdot \log_{10}(\frac{(y_{rms})^2}{(x_{rms})^2}) =
-  20 \cdot log_{10}(\frac{y_{rms}}{x_{rms}}) = k[\textrm{dB}]$$
-daraus folgt:
-$$P_y = P_x \cdot 10^{\frac{k}{10}} \; P_x = \frac{P_y}{10^{\frac{k}{10}}}$$
-bzw:
-$$y_{rms} = x_{rms} \cdot 10^{\frac{k}{20}} \; x_{rms} = \frac{y_{rms}}{10^{\frac{k}{20}}}$$
-
-\subsection{Rauschen}
-
-effektive thermische Rauschleistung: $P_r = k \cdot T \cdot \Delta f $ \\
-daraus folgt: $U_r = \sqrt{4\cdot k \cdot T \cdot \Delta f \cdot R} $\\
-wobei $k = 1.380662\cdot 10^{-23} \frac{J}{K}$ = Boltzmann-Konstante\\
-
-Signal-Rausch-Verhältnis: $a_r = 10 \cdot log_{10}(\frac{P_s}{P_r}) = 20 \cdot log_{10}(\frac{U_s}{U_r})$
-Rauschzahl: $F = \frac{P_{s_{in}}}{P_{r_{in}}}\cdot \frac{P_{r_{in}}}{P_{s_{out}}} $
-logarithmisch: $A_F = 10 \cdot log_{10}(F) = a_{r_{in}} - a_{r_{out}}$
+\subsection{Signalleistung, physikalische Leistung und Rauschen}
+\begin{minipage}{0.45\textwidth}
+
+
+  \begin{flalign*}
+    k\textrm{[dB]} & = 10 \cdot \log_{10} (\frac{P_y}{P_x})
+    \\ & = 10 \cdot \log_{10}(\frac{(y_{rms})^2}{(x_{rms})^2})
+    \\ & = 20 \cdot log_{10}(\frac{y_{rms}}{x_{rms}})
+  \end{flalign*}
+  $$P_y = P_x \cdot 10^{\frac{k}{10}} \textrm{ und } P_x = \frac{P_y}{10^{\frac{k}{10}}}$$
+  $$y_{rms} = x_{rms} \cdot 10^{\frac{k}{20}} \textrm{ und } x_{rms} = \frac{y_{rms}}{10^{\frac{k}{20}}}$$
+
+\end{minipage}%
+\begin{minipage}{0.45\textwidth}
+  \begin{tabular}{l p{4cm}}
+
+    Rauschleistung:           &
+    $P_r = k \cdot T \cdot \Delta f $
+    \\[5pt]
+    \rowcolor{TabularBackgroundColor}
+    Rauschspannung            &
+    $U_r = \sqrt{4\cdot k \cdot T \cdot \Delta f \cdot R} $
+    \\[5pt]
+    Boltzmann-Konstante       &
+    $k = 1.380662\cdot 10^{-23} \frac{J}{K}$
+    \\[5pt]
+    \rowcolor{TabularBackgroundColor}
+    Signal-Rausch-Verhältnis: &
+    $ a_r  = 10 \cdot log_10(\frac{P_s}{P_r})$
+    \newline $= 20 \cdot log_10(\frac{U_s}{U_r})$
+    \\[5pt]
+    Rauschzahl:               &
+    $F = \frac{P_{s_{in}}}{P_{r_{in}}}\cdot \frac{P_{r_{in}}}{P_{s_{out}}} $
+    \\[5pt]
+    \rowcolor{TabularBackgroundColor}
+    logarithmisch:            &
+    $A_F = 10 \cdot log_{10}(F)  $
+    \newline $= a_{r_{in}} - a_{r_{out}}$
+  \end{tabular}
+\end{minipage}
 
 \subsection{Amplitudenanalyse von Signalen}
 
-\textbf{Amplitudendichte (WSK-Dichte)} $p(a) = lim_{da \to 0} \frac{\sum t (a-\frac{da}{2} < x(t) \leq a + \frac{da}{2})}{T \cdot da}= \frac{1}{T} \cdot \frac{dt}{da}$ 
-
-\subsubsection*{Mittelwerte}
-
-\textbf{Linear:}$X_0 = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} a \cdot p(a) da$
-\textbf{N-te Ordnung:}$X^n = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} a^n \cdot p(a) da$
-Gauss verteilung \textbf{für Stochastische Signale} $p(a) = N(\mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{\frac{-(a-\mu)^2}{2\sigma^2}} $
-wobei: $\mu$ = Linearer Mittelwert ($X_0$) und $\sigma$ = Varianz
-
-\subsubsection*{Faltung zweier Amplitudendichten}
-
-$p(a) = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} p_2(x) \cdot p_1(a-x)dx$
-Note: werden 2 Normalverteilungen gefaltet, entsteht eine Normalverteilung.
-
-\subsubsection*{Weiter Funktionen}
-
 
-Q-Funktion: $Q(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \limits _{\xi} ^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}}d\xi$
-Fehlerfunktion $erf(\xi) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int \limits _{0} ^{\xi} e^{-y^2} dy$
-komplementäre Fehlerfunktion $erfc(\xi) =  \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int \limits _{\xi} ^{\infty} e^{-y^2} dy $
+\subsubsection{Amplitudendichte (WSK-Dichte)}
+
+$$
+  p(a)  = lim_{da \to 0} \frac{\sum t (a-\frac{da}{2} < x(t) \leq a + \frac{da}{2})}{T \cdot da}
+  = \frac{1}{T} \cdot \frac{dt}{da}   
+$$
+\begin{minipage}{0.49 \textwidth}
+  \subsubsection*{Mittelwerte} 
+  \textbf{Linear:}
+
+  \noindent $X_0 = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} a \cdot p(a) da$
+  \\
+  \textbf{N-te Ordnung:}
+
+  \noindent $X^n = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} a^n \cdot p(a) da$
+
+  \noindent \textbf{für Stochastische Signale}
+  \\
+  \noindent $p(a) = N(\mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{\frac{-(a-\mu)^2}{2\sigma^2}} $
+  {\tiny Gauss verteilung} 
+  \\
+  wobei: $\mu$ = Linearer Mittelwert ($X_0$)
+  \newline und $\sigma$ = Varianz
+
+  \subsubsection*{Faltung zweier Amplitudendichten}
+
+  $p(a) = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} p_2(x) \cdot p_1(a-x)dx$
+  \newline {\tiny Note: Faltung zweier Normalverteilungen = Normalverteilung}
+\end{minipage}%
+\begin{minipage}{0.49 \textwidth}
+
+
+  \subsubsection*{Weitere Funktionen}
+
+  \textbf{Q-Funktion}\\
+  $Q(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \limits _{\xi} ^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}}d\xi$
+  \\ \textbf{Fehlerfunktion} \\
+  $erf(\xi) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int \limits _{0} ^{\xi} e^{-y^2} dy$
+  \\ \textbf{komplementäre Fehlerfunktion} \\
+  $erfc(\xi) =  \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int \limits _{\xi} ^{\infty} e^{-y^2} dy $
+\end{minipage}
+

include/Signalklassen/Signalklassen.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Signalklassen}
 \begin{multicols}{2}
-    \includegraphics[width = 7cm]{img/Signalklassen.png}
+    \includegraphics[width = 7cm]{include/Signalklassen/img/Signalklassen.png}
     \subsection{weitere Unterteilungen}
     \begin{tabular}{|c|c|}
         Reellwertig $\mathbb{R}$ & Complexwertig $\mathbb{C}$ \\

include/Wichtige Funktionen/Wichtige Funktionen.tex

@@ -19,13 +19,10 @@ \section{Wichtige Funktionen}
 
 \subsubsection*{Diracimpuls \tiny (auch Impuls-/Deltafunktion,-Distribution)}
 
-\begin{multicols}{2}
-
-  \includegraphics[width = 5cm]{include/Wichtige Funktionen/img/Impulsfunktion.png}
-
-  {\footnotesize
-    Unendlich kurzer, normierter Impuls mit unendlicher Amplitude. }
+{\footnotesize
+Unendlich kurzer, normierter Impuls mit unendlicher Amplitude. }
 
+\begin{multicols}{2}
   \resizebox{0.45\textwidth}{!}{%
     \begin{tabular}{ccl}
       \hline \rowcolor{TabularBackgroundColor}
@@ -46,6 +43,9 @@ \subsubsection*{Diracimpuls \tiny (auch Impuls-/Deltafunktion,-Distribution)}
       8.  & $\delta(t-t_0) * f(t) = f(t-t_0)$                                                                                    & Faltung                                \\
       \hline \rowcolor{TabularBackgroundColor}
       9.  & $\delta(t-t_1) * \delta(t-t_2) = \delta(t-t_1-t_2)$                                                                  & Faltung                                \\
+    \end{tabular}}
+    \resizebox{0.45\textwidth}{!}{%
+    \begin{tabular}{ccl}
       \hline
       10. & $\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}$                                                                                       & Ableitung Einheitssprung               \\
       \hline \rowcolor{TabularBackgroundColor}
@@ -63,9 +63,10 @@ \subsubsection*{Diracimpuls \tiny (auch Impuls-/Deltafunktion,-Distribution)}
       \hline \rowcolor{TabularBackgroundColor}
       17. & $1$ \laplace $2\pi\delta(\omega)$                                                                                    & Fourier                                \\
       \hline
-      18. & $\delta(t)$ \laplace $1(\omega)$                                                                                     & Fourier                                \\
+      18. & $\delta(t)$ \laplace $1(\omega)$                                                                                         & Fourier                                \\
     \end{tabular}}
 \end{multicols}
+\resizebox{0.9\textwidth}{!}{%
 \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|p{2cm}|p{3cm}|p{3.5cm}|}
   \hline
 
@@ -166,4 +167,4 @@ \subsubsection*{Diracimpuls \tiny (auch Impuls-/Deltafunktion,-Distribution)}
   \raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=3.5cm]{include/Wichtige Funktionen/img/SincFunktion.png}}
   \\
   \hline
-\end{tabular}
+\end{tabular}}

include/Wichtige Werte & Vereinfachungen/Wichtige Werte & Vereinfachungen.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 
-\section*{Wichtige Werte \& Vereinfachungen}
+\subsection{Wichtige Werte \& Vereinfachungen}
 
 \subsubsection*{Integration über Periodendauer}
 $$\int_T (x \cdot sin(\omega t + \alpha))^2 dt = x^2 \cdot \int_T sin^2(\omega t +\alpha) dt = \frac{x^2}{2}$$
@@ -11,7 +11,7 @@ \subsubsection*{Komplex sin/cos}
 $$cos \varphi = \frac{e^{j\varphi}+ e^{-j\varphi}}{2}, \; sin \varphi = \frac{e^{j\varphi} - e^{-j\varphi}}{2j} $$
 
 \subsection*{Additionstheoreme}
-\begin{multicols}{2}
+\begin{multicols}{2}%
 $\sin(x\pm y) = \sin(x) \cdot \cos(y) \pm \cos(x) \cdot \sin(y)$
 \\$\cos(x \pm y)= \cos(x) \cdot \cos(y) \pm \sin(x) \cdot \sin(y)$
 \\$\sin(2x) = 2 \sin(x) \cdot cos(x)$