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Added stetige Zufallsvariable, Berechnungstabelle
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@J-Un1t
J-Un1t committed Oct 26, 2022
1 parent 4b166b1 commit 765eb9e
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Showing 2 changed files with 125 additions and 33 deletions.
158 changes: 125 additions & 33 deletions WrStatHS22.tex
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Expand Up @@ -184,7 +184,6 @@ \subsection{Ereignisse}
\end{tabular}
\subsection{Wahrscheinlichkeit}
\begin{tabular}{m{7.5cm} m{12cm}}

\subsubsection*{Axiome eines Wahrscheinlichkeitsraumes}
\begin{itemize}
\item Wertebereich: \newline $0 \leq P(A) \leq 1$
Expand Down Expand Up @@ -212,11 +211,13 @@ \subsection{Wahrscheinlichkeit}
\subsubsection{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
Wahrscheinlichkeit das Ereignis $P(A)$ eintrifft,
wenn Ereignis $P(B)$ eingetroffen ist: $P(A|B)$
Bsp: Wahrscheinlichkeit
\subsubsection*{Satz von Bayes ("Umkehrung der Bedingung")}
$$P(A|B)\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
wenn A und B unabhängig:
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
\subsubsection*{Satz von Bayes ("Bedingungsumkehrung")}
$$P(R|T) \cdot P(T) = P(R \cap T) = P(T|R) \cdot P(R)$$
\\ Daraus folgt: $$P(R|T) = P(T|R) \frac{P(R)}{P(T)}\;
\textrm{ resp. } \; P(T|R) = P(R|T) \frac{P(T)}{P(R)}$$
$$P(R|T) = P(T|R) \frac{P(R)}{P(T)}\;
P(T|R) = P(R|T) \frac{P(T)}{P(R)}$$
\subsubsection{Totale Wahrscheinlichkeit}
Sind nur Bedingte Wahrscheinlichkeiten $P(A|B)$ und die bedingende Wahrscheinlichkeit
$P(B)$ bekannt, ergibt sich die totale Wahrscheinlichkeit $P(A)$ aus:
Expand All @@ -231,7 +232,33 @@ \subsection{Wahrscheinlichkeit}
\section{Statistik}
\begin{multicols}{2}

\subsection{Zufallsvariable}
\subsection{Begriffe}
\subsubsection*{Arithmetischer Mittelwert:}
$$\bar{x} = \frac{x_0 + \dots + x_1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i $$
\subsubsection*{Gewichteter Mittelwert:}
$$\bar{x} = \frac{w_1x_1 + w_2x_2 + \dots + w_nx_n}{w_1 + w_2 + \dots + w_n}
= \frac{\sum _{k=1}^n W_kx_k}{\sum_{k=1}^n w_k}$$
Eigenschaften:
$$y_i = ax_i + b \Rightarrow \bar{y} = a\bar{x} + b$$

\subsubsection*{Geometrisches Mittel}
$$G= \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_n} = \sqrt[n]{\prod x_i}$$

\subsubsection*{Median}
Median ist ein Wert einer Liste der in der Mitte steht wenn sie der Grösse nach sortiert wird.
Bei einer geraden Anzahl Werte ist er das Arithmetische Mittel der beiden mittigsten Werte.
Bsp: $x = {74, 4, 8, 2, 1355, 6643} \Rightarrow x_{0.5} = 41$ \\
Eigenschaften:
$$y_i = ax_i + b \Rightarrow med(y_i) = a \cdot med(x_i) + b$$
$$ med(x_i) = min(\sum _{i=1} ^n |x_i - \bar{x}|)$$

\subsubsection*{Quantil}
Eine Unterteilung der Beobachtungswerte bzw. der Fläche der Dichtekurve.
$p$-Quantil $p \in \mathbb{R}$ links davon ist der Anteil $p$ in \% aller Zufallswerte bzw. Der Dichtekurve.



\subsection{diskrete Zufallsvariable}

Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion die einem
Versuchsausgang $\omega$ einen Wert $X(\omega)$ zuordnet.
Expand Down Expand Up @@ -320,12 +347,11 @@ \subsection*{Lineare Regression}
y = {create col/linear regression={y=x}}
] {LinearReg.dat};
% Add legend
\addlegendentry{Data}
\addlegendentry{
Lineare Regression
};
\addlegendentry{Daten}
\addlegendentry{Lineare Regression};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

Linerer Zusammenhang zwischen Zufallsvariablen X und Y:
$$ Y = aX + b + Fehler$$
wobei, a und b zu Bestimmen sind, damit der Fehler möglichst klein wird.
Expand All @@ -347,42 +373,108 @@ \subsection*{Lineare Regression}
wenn $r^2 \simeq 1$ Passt das Modell gut.
\end{multicols}

\subsection{Stetige Zufallsvariable}
\begin{multicols}{2}

\subsubsection*{Verteilungsfunktion}
Die Verteilungsfunktion beschreib die Wahrscheinlichkeiten der Werte einer Zufallsvariable.
$$F(x)= F_X(x) = P(X \leq x)$$
Eigenschaften:
\begin{itemize}
\item monoton wachsend
\item $0 \leq F_X(x) \leq 1$
\item $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$
\item $lim_{x \to \infty} F(x) = 1$
\item $P(a < X \leq b) = F_x(b) - F_X(a)$
\end{itemize}

\subsubsection*{Wahrscheinlichkeitsdichte:}
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist die Ableitung der Verteilungsfunktion.
Ihre Fläche \textbf{muss} 1 sein.

$$\varphi(x) = \varphi_X(x) = F'_X(x)$$
$$F_X(x) = \int \limits _{-\infty} ^{x} \varphi(\xi)d\xi$$

Eigenschaften:
\begin{itemize}
\item $\varphi(x) \geq 0$
\item $\int \limits _{-\infty} ^{\infty} \varphi(x)dx = 1$
\item $F_X(x)$ ist die Stammfunktion.
\item $P(a < X \leq b) =\int \limits _a ^b \varphi_X(x)dx$
\end{itemize}

\subsubsection{Erwartungswert:}
$$E(X) = \sum Wert \cdot Wahrscheinlichkeit = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} x \cdot \varphi(x)dx $$
$$E(X^2) = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} x^2 \cdot \varphi(x) dx$$
$$E(f(X)) = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} f(x) \cdot \varphi(x)dx$$

\subsubsection*{Summe Stetiger Zufallsvariablen}
wemm $X$ und $Y$ unabhängig sind, dann hat die Zufallsvariable $Z = X + Y$ die Wahrscheinlichkeitsdichte:
$$\varphi_Z(z) = \varphi_X * \varphi_Y(z) = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \varphi_X(x) \varphi_Y(z-x)dx$$

\subsubsection*{Summe von Gleichverteilungen}
$$\varphi_X(x) = \varphi_Y(x)$$
$$\varphi_{X+Y}(x) = \varphi_X * \varphi_Y(x) = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \varphi(y)\cdot \varphi(x-y)dy $$
\end{multicols}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Anhang
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Anhang}

\subsection{Taschenrechner}

\newpage
\subsection{Berechnungstabelle Lineare Regression}

\begin{tabular}{|p{0.5cm}|p{1cm} p{2cm}|p{2cm} p{3cm}| p{4cm}|}
\hline
$i$ & $t_i$ & $t_i^2$ & $x_i$ & $x_i^2$ & $t_ix_i$ \\
$i$ & $t_i$ & $t_i^2$ & $x_i$ & $x_i^2$ & $t_ix_i$ \\
\hline
\hline
1 \\
2 \\
3 \\
4 \\
5 \\
6 \\
7 \\
8 \\
9 \\
10 \\
11 \\
12 \\
13 \\
14 \\
15 \\
16 \\
17 \\
18 \\
19 \\
20 \\
1 & & & & & \\[20pt]
\hline
\\
\\
2 & & & & & \\[20pt]
\hline
3 & & & & & \\[20pt]
\hline
4 & & & & & \\[20pt]
\hline
5 & & & & & \\[20pt]
\hline
6 & & & & & \\[20pt]
\hline
7 & & & & & \\[20pt]
\hline
8 & & & & & \\[20pt]
\hline
9 & & & & & \\[20pt]
\hline
10 & & & & & \\[20pt]
\hline
11 & & & & & \\[20pt]
\hline
12 & & & & & \\[20pt]
\hline
13 & & & & & \\[20pt]
\hline
14 & & & & & \\[20pt]
\hline
15 & & & & & \\[20pt]
\hline
16 & & & & & \\[20pt]
\hline
17 & & & & & \\[20pt]
\hline
18 & & & & & \\[20pt]
\hline
19 & & & & & \\[20pt]
\hline
20 & & & & & \\[20pt]
\hline
& & & & & \\
Total & & & & & \\
\hline
\hline
\end{tabular}
Expand Down
Binary file modified WrStatHS22.xdv
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